第一章 概率论的基本概念
第二章 随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
第四章 随机变量的数字特征
第五章 大数定理及中心极限定理
第六章 样本及抽样分布
第七章 参数估计
第八章 假设检验

第三章 多维随机变量及其分布

3.1 二维随机变量

定义

设E是一个随机试验，它的样本空间是S=\{e\}，设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量或二维随机变量。

二维随机变量的联合分布函数

F(x,y)=P(X\le x,Y\le y),-\infty<x,y<+\infty

计算公式：

P\{x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)

分布函数的性质

1. F(x,y)是变量x和y的不减函数，即对于任意固定的y，当x_2>x_1时，F(x_2,y)\ge F(x_1,y)；对于任意固定的x，当y_2>y_1时，F(x,y_2)\ge F(x,y_1)。

2. 0\le F(x,y) \le 1，且F(x, -\infty ) = F(-\infty , y) = F(-\infty , -\infty ) = 0,F(+\infty,+\infty)=1。

3. F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续。

4. 对于任意的(x_1,y_1),(x_2,y_2),x_1<x_2,y_1<y_2，下列不等式成立：

   F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\ge0

二维离散型随机变量

• 定义：

  如果二维随机变量(X,Y)全部可能渠道的不相同的值时有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型的随机变量。

• 二维离散型随机变量的分布律

  设二维随机离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(x_i,y_j),i,j=1,2,...，记P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,...，则有概率的定律有：

  p_{ij}\ge0,\quad\sum\limits^{\infty}_{i=1}\sum\limits^{\infty}_{j=1}p_{ij}=1

  称P\{X=x_i,Y=y_j\}=p_{ij},i,j=1,2,...为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X和Y的联合分布律。可以用表格来表示：

  Y$X$	x_1	x_2	…	x_i	…
  y_1	p_{11}	p_{21}	…	p_{i1}	…
  y_2	p_{12}	p_{22}	…	p_{i2}	…
  …	…	…	…	…	…
  y_j	p_{1j}	p_{2j}	…	p_{ij}	…
  …	…	…	…	…	…

• 二维分布函数

  F(x,y)=\sum\limits_{x_i\le x}\sum\limits_{y_j\le y}p_{ij}

二维连续型随机变量

• 定义
  对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，如果存在非负的函数f(x,y)使对于任意x,y有:

  F(x,y) = \int^y_{-\infty}\int^x_{-\infty}f(u,v)\mathrm du\mathrm dv

  则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密度。

• 性质：

  1. f(x,y)\ge0；

  2. \int^{+\infty}_{-\infty}\int^{+\infty}_{-\infty}f(x,y)\mathrm dx\mathrm dy=F(\infty,\infty) = 1；

  3. 设G是xOy平面上的区域，点(X,Y)落在G内的概率为

     P\{(X,Y)\in G \}=\iint\limits_Gf(x,y)\mathrm dx\mathrm dy

  4. 若f(x,y)在(x,y)连续，则有：

  \frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)

• X和Y的联合密度函数

  P\{(X,Y)\in A\}=\iint\limits_Gf(x,y)\mathrm dx\mathrm dy，G\sub \mathscr R_2

3.2 边缘分布

边缘分布函数

❓ 已知(X,Y)的分布，如何确定X,Y的各自的分布？

• 定义

  设F(x,y)为随机变量(X,Y)的分布函数，则：

  F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}

  令y\rightarrow\infty，称P\{X\le x\}=P\{X\le x,Y\le \infty\}=F(x,\infty)为随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数。记为F_x(x)=F(x,\infty)。

  同理：令x\rightarrow\infty，称F_y(y)=F(\infty , y)=P\{Y\le y\}=P\{X\le \infty,Y\le y\}为随机变量(X,Y)关于Y的边缘分布函数。

离散型随机变量的边缘分布律

• 定义：

  设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：

  P\{X=x_i,Y=y_i\}=p_{ij}=1,2,...

  记

  p_{i\cdot}=\sum\limits^\infty_{j=1}p_{ij}=P\{X=X_i\},i=1,2,... \\p_{\cdot j}=\sum\limits^\infty_{i=1}p_{ij}=P\{Y=y_j\},j=1,2,...

  分别称P_{i\cdot}(i=1,2,…）和p_{\cdot j},(j=1,2,…)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布律。

• 离散型随机变量关于X和Y的边缘分布函数

  F_X(x)=F(x,\infty)=\sum_{x_i\le x}\sum_{j=1}^\infty p_{ij} \\F_Y(y)=F(\infty,y)=\sum_{y_j\le y}\sum_{j=1}^\infty p_{ij}

连续型随机变量的边缘分布

• 定义

  对于连续型随机变量(X,Y),设它的概率密度为f(x,y),由于

  F_X(x)=F(x,\infty)=\int_{-\infty}^x\Bigr[\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\mathrm{d}y\Bigr]\mathrm{d}x

  记

  f_X(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\text{d}y

  称其为随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度。

  同理可得Y的边缘分布函数：

  F_Y(y)=F(\infty,y)=\int_{-\infty}^y\Bigl[\int_{-\infty}^{+\infty}{f(x,y)\text{d}x}\Bigr]\text{d}y.

3.3 条件分布

离散型随机变量条件分布

设(X,Y)是二维离散型随机变量对于固定的j,若P\{Y = y_j\}> 0,则称

P\{X=x_i|Y=y_j\}=\dfrac{P\{X=x_j,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\dfrac{p_{ij}}{P_{\bullet j}}

为在Y=y_j条件下随机变量X的条件分布律。

对于固定的i,若P\{X = x_i\}>0,则称

P\{Y=y_j|X=x_i\}=\dfrac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=X_i\}}=\dfrac{P_{ij}}{P_{i\bullet}}

为在X=x_i条件下随机变量Y的条件分布律其中i,j =1,2,…。

连续型随机变量条件分布

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，(X,Y)关于Y的边缘概率密度为f_Y(y)。若对于固定的y,f_Y(y)>0，则称\frac {f(x,y)}{f_Y(y)}为在Y=y的条件下X的条件概率密度，记为：

f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}

称\int^x_{-\infty}f_{X|Y}(x|y)\mathrm dx=\int^x_{-\infty}\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\mathrm dx为在Y=y的条件下，X的条件分布函数，记为：

P\{X\le x|Y=y\}或F_{X|Y}(x|y)

即：

F_{X|Y}(x|y)=P\{X\le x|Y=y\}=\int^x_{-\infty}\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\mathrm dx

3.4 相互独立的随机变量

随机变量的相互独立性

• 定义：

  设F(x,y)及F_X(x), F_Y(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数、若对于所有x,y有:

  P\{X ≤x,Y ≤y\}= P\{X≤x\}P\{Y ≤y\}

  即;

  F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)

  则称随机变量X和Y是相互独立的。

• 离散型随机变量独立性的确定

  若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为：

  P\{X=i,Y=j\}=p_{ij},\quad i,j=1,2,...

  若X和Y相互独立，则满足：

  p_{ij}=p_{i\bullet}\cdot p_{\bullet j}

• 连续型随机变量独立性的确定

  设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)，边缘概率密度分别为f_X(x),f_Y(y)，若X和Y相互独立，则有：

  f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)

n维随机变量

• 分布函数：

  n维随机变量(X_1,X_2,…,X_n)的分布函数定义为：F(x_1,x_2,…,x_n)=P\{X_1\le x_1,X_2\le x_2,…,X_n\le x_n\}，其中x_1,x_2,...,x_n为任意实数。

• 概率密度函数：

  若存在非负函数f(x_1,x_2,…,x_n)，使对于任意实数x_1,x_2,…,x_n有：

  F(x_1,x_2,...,x_n)=\int^{x_1}_{-\infty}\int^{x_2}_{-\infty}...\int^{x_n}_{-\infty}f(x_1,x_2,…,x_n)\mathrm dx_1\mathrm dx_2...\mathrm dx_n

  则称f(x_1,x_2,…,x_n)为(X_1,X_2,…,X_n)的概率密度函数。

3.5 两个随机变量的函数分布

离散型随机变量函数的分布

设两个独立的随机变量X和Y的分布律为:

则随机变量Z=X+Y的分布律为：

由此可得一般性结论公式：

若X、Y独立，P\{X=k\}=a_k,k=1,2,3,...,P\{Y=k\}=b_k,k=0,1,2,...,则可以得到Z=X+Y的分布律：

\begin{aligned} P\{Z=r\}&=\sum^r_{i=0}P\{X=i\}P\{Y=r-i\}\\ &=a_0b_r+a_1b_{r-1}+...+a_rb_0 \end{aligned}

连续型随机变量函数的分布

• Z=X+Y的分布

  设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y)。则Z=X+Y仍为连续型随机变量，其概率密度为

  \begin{align}f_{X+Y}(z)=\int^\infty_{-\infty}f(z-y,y)\mathrm dy\\ f_{X+Y}(z)=\int^\infty_{-\infty}f(x,z-x)\mathrm dx \end{align}

  若X和Y相互独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分布为f_X(x),f_Y(y)，则上述两式变为：

  \begin{align}f_{X+Y}(z)=\int^\infty_{-\infty}f_X(z-y)f_Y(y)\mathrm dy\\ f_{X+Y}(z)=\int^\infty_{-\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\mathrm dx \end{align}

  记(3)(4)公式为f_X和f_Y的卷积公式，记为f_X*f_Y。

• M=\max\{X,Y\}的分布

  F_{max}(z)=F_X(z)F_Y(z)

• M=\min\{X,Y\}的分布

  F_{min}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]

习题

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