第一章 离散时间信号与系统
第二章 z变换和离散时间傅里叶变换(DTFT)
第三章 离散傅里叶变换
第四章 快速傅里叶变换（FFT）
第五章 数字滤波器的基本结构
第六章 无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法
第七章 有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法
第八章 序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础
第八章 序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础
8.1 概述
抽样率转换的方法
- 将离散信号经过D/A转换成模拟信号，在以另一个抽样率抽样。
- 直接对数字域对已抽样信号做抽样频率的转换。
实现方法：
- 抽取：降低抽样率，去掉多余的数据；
- 插值：提高抽样率，增加数据。
8.2 用整数D的抽取——降低抽样率
x_d(n)=x(Dn)
当信号的抽样数据量太大时，在每连贯的D个抽样中抽出一个以便减少数据量，D是整数，成为抽样因子，这样的抽取，成为整数D倍抽取。
\xrightarrow[f_s]{x(n)} \begin{array}{c} \fbox{抽取器 \\D} \end{array}\xrightarrow[f'_s=f_s/D]{x_d(n)}
\xrightarrow[f_s]{x(n)} \begin{array}{c} \fbox{↓D} \end{array}\xrightarrow[f'_s=f_s/D]{x_d(n)}
从连续时域降低抽样率分析
将模拟信号x_a(t)以抽样频率f_s对其抽样，得到序列x(n)；以抽样频率\frac {f_s} D对其抽样，得到序列x_d(n)。
以上信号满足如下的傅里叶变换关系：
x_a(t)\leftrightarrow X_a(\mathrm j\Omega)\\ x(n)\leftrightarrow X(e^{\mathrm j\omega})\\ x_d(t)\leftrightarrow X_d(e^{\mathrm j\omega})
经过计算可得：
X_d(e^{\mathrm j\omega'})=\frac 1T\sum\limits^\infty_{k=\infty}X_a(\mathrm j\frac{\omega'-2\pi k}{T_2})
可以得出以下结论：
-
X_d(e^{\mathrm j\omega'})可以看作以\frac{2\pi}{T_2}整数倍进行移位，并按频率\omega=\Omega T_2做尺度变换的无穷多个X_a(\mathrm j\Omega)所组成。
-
X_d(e^{\mathrm j\omega'})是周期的，周期为2\pi。
-
只有在抽取后的抽样率仍满足抽样定理时，才不会产生混叠失真。
即：X(e^{\mathrm j \omega})是带限的，及X(e^{\mathrm j \omega})=0,\omega_{h1}\le|\omega|\le\pi，且\omega_h\le\frac \pi D。
直接在序列域用整数D抽取
先将序列x(n)进行脉冲抽样，得到x_p(n)，然后去掉零值点，得到所需抽取的序列x_d(n)。用数学方法来表示：
输入序列：x(n)；
周期脉冲串：\sum\limits^\infty_{k=-\infty}\delta(n-kD)；
处理后的序列：x_p(n)=x(n)p(n)；
输出序列：x_d(n)=x_p(Dn)=x(Dn)。
经过计算可得：
\begin{align} X_p(e^{\mathrm j\omega})=\frac 1D\sum^{D-1}_{k=0}X(e^{\mathrm j(\omega-k\omega_s)}) \\X_d(e^{\mathrm j\omega'})=X_p(e^{\mathrm j\frac{\omega'}D}) \\X_d(e^{\mathrm j\omega' })=\frac 1D\sum^{D-1}_{k=0}X(e^{\mathrm j(\frac{\omega'}{D}-k\frac{2\pi}{D})}) \end{align}
式(1)表明：X_p(e^{\mathrm j\omega})为X(e^{\mathrm j\omega})的周期延拓，以\omega_s为周期；
式(2)表明：X_d(e^{\mathrm j\omega'})与X_p(e^{\mathrm j\omega})在频率尺度上不同；
式(3)表明：X_d(e^{\mathrm j\omega'})是原信号频谱X(e^{\mathrm j\omega})先做频率的D倍扩展，再按照2\pi的整数倍移位后叠加而构成。
加防混叠滤波器的抽取器系统
\xrightarrow[]{x(n)} \begin{array}{c} \boxed{h(n)} \end{array}\xrightarrow[]{} \begin{array}{c} \fbox{↓D} \end{array}\xrightarrow[]{x_d(n)}
8.3 用整数I的插值——提高抽样率
整数倍(I倍)插值的方法
- 再序列相邻两点间插入(I-1)个零值点x_e(n)=x(\frac nI)；
- 进行数字低通滤波
\xrightarrow[]{x(n)} \begin{array}{c} \boxed{\uparrow I} \end{array}\xrightarrow[]{x_e(n)} \begin{array}{c} \boxed{h(n)} \end{array}\xrightarrow[]{x_I(n)}
零值插值后的频谱变换
经过计算可得：
X_e(e^{\mathrm j\omega})=X(e^{\mathrm j\omega\cdot I})
x_e(n)的频谱是x(n)的频谱做数字频率I倍压缩。
滤除镜像分量的低通滤波
设一个低通滤波器：
H(e^{\mathrm j \omega})=\begin{cases} I\quad&,|\omega|\le\frac\pi I\\ 0&,其他 \end{cases}
滤波后：
X_I(e^{\mathrm j\omega})=X_e(e^{\mathrm j\omega})H(e^{\mathrm j\omega})
x_I(n)=\sum\limits^\infty_{k=-\infty}x(k)\frac{\sin[\frac{\pi(n-Ik)}{I}]}{\frac{\pi(n-Ik)}{I}}
8.4 用正有理数I/D做抽样率转换
将抽取和插值结合起来，就能用以某一非整数因子来改变抽样率，先做I倍插值，再做D倍抽取，采样率转换为原来的\frac{D}{I}倍。
评论区