第一章 概率论的基本概念
第二章 随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
第四章 随机变量的数字特征
第五章 大数定理及中心极限定理
第六章 样本及抽样分布
第七章 参数估计
第八章 假设检验

第二章 随机变量及其分布

2.1 随机变量

定义

设随机试验的样本空间为S=\{e\}。X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数。称X=X(e)为随机变量。它有以下特点：

• 它随试验结果的不同而产生不同的值，在试验之前只可能知道它的取值范围，不能预先肯定它取哪个值。
• 由于试验结果的出现有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率。

💡 例如：从某一学校随机选择一名学生，测量他的身高。我们把可能的身高看作随机变量，紧接着我们就能提出关于X的问题，比如：P(X>1.7)=?

意义

将对事件及事件概率的研究扩大到对随机变量及其取值规律的研究。

分类

随机变量通常分为两类：离散型随机变量和连续型随机变量。

• 离散型随机变量：取值是有限或可列的无限多个。
• 连续型随机变量：全部都能取值，不仅无穷多，还不能一一列举，只能通过区间进行描述。

2.2 离散型随机变量及其分布律

定义

• 设x_k(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称P(X=x_k)=p_k,\quad k=1,2,…为离散型随机变量X的概率分布或分布律。其中p_k满足：
  1. p_k\ge0(k=1,2...);
  2. \sum\limits_kp_k=1。

表示方法

• 列表法

  X	x_1	x_2	…	x_n
  P_k	p_1	p_2	…	p_n

• 公式法

  P\{X=k\}=\frac{C_2^kC^{3-k}_3}{C^3_5}

常用的离散型分布

1. 0-1分布

   设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是：

   X	0	1
   p_k	1-p	p

2. 贝努利试验，二项分布

   • 贝努利试验：设试验E只有两种可能结果，A或\overline A，则称E为贝努利试验。如果将E独立重复的进行n次，则称这一串重复的毒理实验为n重贝努利试验。

   • 二项分布：如果每次试验中事件A发生的概率为p，则以X表示在n次贝努利试验中事件A恰好发生的次数，则X=k的概率为

     P\{X=k\}=C^k_np^k(1-p)^{n-k}

     我们称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，并记为：

     X\sim b(n,p)

3. 泊松分布

   • 定义：设随机变量X所有可能取的值为0，1，2，…，且概率分布为：

     p\{X=k\}=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\quad k=0,1,2,...

     其中\lambda>0是常数，则称X服从参数为\lambda的泊松分布，记作：

     X\sim P(\lambda)

   • 二项分布的泊松分布近似式：

     C^k_np^k(1-p)^{n-k}\approx e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}

     其中\lambda=np。

💡 泊松定理表明泊松分布是二项分布的极限分布，当n很大，p很小时，二项分布就可以看作是参数\lambda=np的泊松分布。

2.3 随机变量的分布函数

分布函数的概念

设X是随机变量，对任意的实数x，函数F(x)=P\{X \le x\}称为X的分布函数。

易知：对于任意的实数a,b(a<b),

P\{a<X\le b\}=P\{x\le b\}-P\{x\le a\}=F(b)-F(a)

分布函数的性质

1. 单调不减性
2. 有界性：对于任意实数x，都有0\le F(x)\le 1。
3. 右连续性

离散型随机变量的分布函数

F(x)=\sum\limits_{x_k\le x}P\{X=x_k\}=\sum\limits_{x_k\le x}p_k

2.4 连续性随机变量及其概率密度

概率密度

• 定义：对于随机变量X，若存在非负函数f(x),(-\infty<x<+\infty)，使对任意函数x，都有

  F(x)=\int^x_{-\infty}f(t)\mathrm dt

  则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度和密度函数。

• 性质：

  1. f(x)\ge0;
  2. \int^{+\infty}_{-\infty}f(x)\mathrm d x;
  3. P\{x_1<X\le x_2\}=F(x_2)-F(x_1)=\int^{x_2}_{x_1}f(x)\mathrm dx;
  4. 若f(x)在点xc处连续，则有F'(x)=f(x)。
  5. 对于任意可能值a，连续型随机变量取a的概率为0，即P\{X=a\}=0。

常见连续型随机变量的分布

1. 均匀分布

   f(x)= \begin{cases} \frac{1}{b-a} ,\quad &a<x<b \\0&其他 \end{cases}

   记为X\sim U(a,b)

   

   分布函数：

   F(x)=\begin{cases}0,&x<a,\\ \dfrac{x-a}{b-a},&a\le x<b,\\ 1,&x\ge b.\end{cases}

2. 指数分布

   f(x)=\begin{cases}\frac1\theta\mathbf{e}^{-x/\theta},&x>0,\\ \theta,&x\leq0.\end{cases}

3. 正态分布（高斯分布）

   f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},-\infty<x<+\infty,

   记为X\sim N(\mu,\sigma^2)。

   几何特征：

   1. 曲线关于x=\mu对称，这表明对于任意h>0，有P\{\mu-h<X\le\mu\}=P\{\mu<X\le\mu+h\}。
   2. 当x=\mu时，f(x)取最大值\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}。
   3. 当x\rightarrow \pm \infty时，f(x)\rightarrow0;
   4. 曲线在x=\mu\pm\sigma处有拐点；
   5. 曲线以x轴为渐近线。
   6. 固定\sigma，改变\mu的大小时，f(x)的图形形状不变，知识沿着x轴平移变换。
   7. 当固定\mu，改变\sigma的大小时，f(x)图形的对称轴不变，而形状在改变，\sigma越小，图形越高越瘦，\sigma越大，图形越矮越胖。

2.5 随机变量的函数的分布

❓ 知道X=f(x),Y=g(X)，如何求f_Y(y)？

离散型随机变量函数的分布

设随机变量X的分布律为：

P(X=x_k)=p_k,k=1,2,3,...

由已知函数g(x)可求出随机变量Y的所有可能取值，Y的概率分布为：

P(Y=y_i)=\sum\limits_{k:g(x_k)=y_i}p_k,i=1,2,...

连续型随机变量函数的分布

设随机变量X具有概率密度：

f_X(x),-\infty<x<+\infty

又设函数g(x)处处可导且恒有g'(x)>0（或g'(x)<0），则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为：

f_Y(y)=\begin{cases} f_X[h(y)]|h'(y)|&,\alpha<y<\beta\\ 0&,其他 \end{cases}

其中\alpha=\min(g(-\infty),g(+\infty)),\beta=\max(g(-\infty),g(+\infty))，h(y)是g(x)的反函数。

正态分布的特别规律

若X\sim N(0,1)，则Y=aX+b\sim N(b,a^2)

习题

• 计算机硬件公司制造某种特殊型号的微型芯片，次品率为0.1\%，各芯片成为次品相互独立。求在1000只芯片中至少有2只次品的概率。以X计产品中的次品数，则X\sim b(1000,0.001)。

  泊松分布：C^k_np^k(1-p)^{n-k}\approx e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}，其中\lambda=np=1。

  \begin{aligned} P\{X\ge2\}&=1-P\{X=0\}-P\{X=1\}\\ &=1-e^{-1}-e^{-1}=0.2642411 \end{aligned}

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设随机变量X的分布律为

• 求X的分布函数，并求P\{X\le\frac12\},P\{\frac32\le X\le\frac52\},P\{2\le X\le3\}。

  F(x)= \begin{cases} 0,\quad &x<-1 \\\frac14&-1\le x<2 \\\frac34&2\le x<3 \\1&x\ge3 \end{cases}

  P\{X\le\frac12\}=F(\frac12)=\frac14\\ P\{\frac32<X\le\frac52\}=F(\frac52)-F(\frac32)=\frac12 \\ P\{2\le X\le 3\}=F(3)-F(2)+P\{X=2\}=\frac34

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• 答案

  

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• 答案

  

• 答案

  

• 答案