第一章 概率论的基本概念
第二章 随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
第四章 随机变量的数字特征
第五章 大数定理及中心极限定理
第六章 样本及抽样分布
第七章 参数估计
第八章 假设检验
第一章 概率论的基本概念
概率论与数理统计是研究和解释随机现象规律统计性的一门数学学科。
1.1 随机试验
- 随机试验简称为试验，是一个广泛的术语它包括各种各样的科学实验，也包括对客观事物进行的“调查”、观察”、或“测量”等。
- 随机试验的特点：
- 可在相同条件下重复进行。
- 试验可能结果不止一个，但能确定所有的可能结果。
- 一次实验无法确定哪种结果会出现。
- 字母表示：E
1.2 样本空间、随机事件
样本空间
- 定义：试验E出现的所有可能结果组成的集合称为样本空间，记为S。
- 样本点：样本空间的每一个元素。
- 基本事件：由一个样本点组成的单点集。
随机事件
- 定义：试验E的样本空间S的子集，记作A、B、C等。
- 两个特殊事件：
- 必然事件：在试验中必然发生的事件，用S表示。
- 不可能事件：在试验中不可能发生的事件，用\varnothing表示。
事件之间的关系
-
包含关系（A\subset B）：A发生必然导致B发生。
-
和事件（A\cup B）：A与B至少有一个发生。
n个事件A_1,A_2,...至少一个发生，记作\mathop\cup\limits^n_{i=1}A_i。
-
积事件（A\cap B=AB）：A与B同时发生。
-
差事件（A-B=A\overline B=A-AB）:事件A发生但B不发生。
-
互斥的事件（AB=\varnothing）：事件A与B不能同时发生。
-
互逆的事件、对立事件（A\cup B=S且AB=\varnothing）:不是A出现就是B出现。
事件的运算律
-
交换律：
A\cup B=B\cup A,\quad AB=BA
-
结合律：
(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)\\(AB)C=A(BC)
-
分配律：
(A\cup B)C=AC\cup BC\\ (AB)\cup C=(A\cup C)(B\cup C)
-
对偶律（德·摩根律）：
\overline{A\cup B}=\overset{-}{A}\overset{-}{B}\\ \overline{(AB)}=\overline{A}\cup\overline{B}
1.3 频率与概率
频率
- 定义：事件A在n次试验中重复n_a次，则称n_a为事件A在n次试验中出现的频数，\frac{n_A}{n}称为事件A在n次试验中出现的频率，记为f_n(A)，即
f_n(A)=\frac{n_A}{n}
- 性质：
- 随机波动性：对于同样的n，所得的f不一定相同。
- 统计规律性：随着n增大，呈现出稳定性。
- 0\le f_n(A)\le 1
- f_n(S)=1;\quad f_n(\varnothing)=0
- 若A_1,A_2,A_3,...A_k为两两互不相容的事件，则f(A_1\cup A_2\cup ... \cup A_k)=f_n(A_1)+f_n(A_2)+...+f_n(A_k)
概率
-
统计定义：在不变的一组条件下进行大量的重复实验，随机事件A出现的频率\frac \mu n会稳定地在某个固定的出现的频率p的附近摆动。我们称这个稳定值p为随机事件A的概率，即P(A) = p。
-
公理化定义：
若对随机试验卫所对应的样本空间S中的每一事件A,均赋予一实数P(A),集合函数P()满足条件：
- 非负性：P(A)≥0；
- 规范性：P(S)=1;
- 可列可加性：设A_1,A_2,是一列两两互不相容的事件，即A_iA_j\neq0,(),i,j=1,2,...,有P(A_1\cup A_2\cup...)=P(A_1)+P(A_2)+...
则称P(A)为事件A的概率。
-
性质:
- P(\varnothing)=0
- 频率的有限可加性：若A_1,A_2,A_3,...A_k为两两互不相容的事件，则P(A_1\cup A_2\cup ... \cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)
- 差事件的概率：设A,B是两个事件,若A\subset B,则有P(B-A)=P(B)-P(A)。
💡 一般情形：P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)
- 对于任一事件A,有P(A)≤1。
- 对于任一事件A，有P(\overline A)=1-P(A)。
- 加法公式：对于任意两事件A,B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)。
1.4 等可能概型（古典概型）
定义
如果某试验E满足有限性和等可能性则称E为古典概型或者等可能概型。
P(A)=\frac kn=\frac{A包含的基本事件数}{S中的基本事件总数}
💡 此部分主要以例题为主
准备知识：排列组合
-
排列：从n个不同的元素中按顺序取r个排成一列称为一个排列，所有可能的排列记为P^r_n，由乘法原理：
P_n^r=n(n-1)(n-2)...(n-r+1)
当n=r的时候，称为全排列，全排列的的个数为：
P^n_n=n!
-
组合：从n个不同的元素中取r个组成一组称为一个组合，所有可能的排列记为C^r_n，由乘法原理：
C_n^r=\frac{P^r_n}{r!}=\frac{n!}{(n-r)!\cdot r!}
排列也可以用矩阵来表示：
C_n^r=\begin{pmatrix} n\\r \end{pmatrix}
1.5 条件概率
概念
- 在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B)。
定义
-
设A、B是两个事件，且P(B)>0，则称：
P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}
性质
- 对于任一事件A，0\le P(A|B)\le1;
- P(S|B)=1;
- 设A_1,...,A_n互不相容，则P[(A_1\cup A_2 \cup...\cup A_n)|B]=P(A_1|B)+P(A_2|B)+...+P(A_n|B)。
计算
-
定义计算：
P（A|B）=\frac{P(AB)}{P(B)}
-
加入了改变后的条件进行计算。
💡 比如说：100件产品中有5件次品，现在从中接连任取两件而不放回，求在第一次取得正品的条件下，第二次取得次品的概率。
事件A:第一次取得正品
事件B:第二次取得次品
则P(B|A)=\frac5 {99}。
乘法公式
-
若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B)。
-
拓展到n个事件的乘法公式：
P(A_1A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2A_1)...P(A_n|A_1A_2...A_{n-1})\quad \\s.t.\quad P(A_1A_2...A_n)>0
全概率公式
- 样本空间的划分：
设S为试验E的样本空间，B_1,B_2,...,B_n为E的一组事件。若：
- B_iB_j=\varnothing,\quad i≠j,\quad i,j=1,2,,n;
- B_1\cup B_2 \cup...\cup B_n=S
则称B_1,B_2,...,B_n为样本空间S的一个划分，若B_1,B_2,…,B_n是样本空间S的一个划分，那么，对于每次试验，事件B_1,B_2,...,B_n中必有一个且仅有一个发生。
-
全概率公式：设S为试验E的样本空间，B_1,B_2,…,B_n为样本空间S的一个划分，A为E的一个事件，且P(B_i)>0(i=1,2,…,n)，则
P(A)=P (B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A |B_2)+...+P(B_n)P(A|B_n)
贝叶斯公式
- 定义：定理：设S为试验E的样本空间，B,B2,…,B,为样本空间S的一个划分，A为E的一个事件，且P(A)>0,P(B)>0(i=1,2,…,n),则：
P(B_i|A)=\dfrac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum\limits_{j=1}^nP(B_j)P(A|B_j)}\quad i=1,2,...,n
1.6 事件的独立性
定义
- 设A,B是两事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B)则称事件A,B相互独立，简称A,B独立。
定理
- 若P(A)>0，P(B)>0，则A，B相互独立与A，B互不相容不能同时成立。
- 设A、B是两事件，且P(A)>0，P(B)>0，若A,B相互独立，则P(B|A)=P(B)，反之亦然。
- 若A、B独立，则\overline A与B，A与\overline B，\overline A与\overline B也相互独立。
应用
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简化计算
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串联系统的可靠性：
\begin{aligned} p_串&=P(A_1A_2...A_n)\\ &=P(A_1)P(A_2)...P(A_n)\\ &=p_1p_2...p_n \end{aligned}
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并联系统的可靠性：
\begin{aligned} p_并&=P(A_1\cup A_2\cup ...\cup A_n)\\ &=P(A_1)+P(A_2)+...+P(A_n)\\ &=p_1+p_2...+p_n \end{aligned}
习题
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从10名战士中选出3名组成突击队，请问有几种组队方法？
C_{10}^3=\frac{10!}{3!7!}=120
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答案
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答案
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