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使用sympy包求解微积分问题

常用函数

在python的math包中，可以调用sin()、log2()等函数，但这些函数不适用于符号。在sympy包中也有这些函数，它既可以完成math模块中的功能，还可以实现函数中包含未知数。

import sympy as sp

u = sp.Symbol('u')
t = sp.Symbol('t')
g = sp.Symbol('g')
theta = sp.Symbol('theta')
sp.solve(u*sp.sin(theta)-g*t, t)[0]

结果：

notion image

我们可以判断一个未知数的情况，例如我们想知道 $x$ 为正时， $x+5$ 是否为正，程序如下：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', positive=True)
if x + 5 > 0:
    print('yes')
else:
    print('no')

运行结果输出了yes。如果我们不能判断 $x+5$ 是否为正，那么会出现报错。

在上面的代码中，我们声明了x为positive,同样我们还可以声明它是实数、整数、负数、虚数等。这些声明称为假设。

我们可以使用sympy计算函数的极限。

比如我们可以计算 $\frac 1 x$ 在 $x$ 趋于正无穷时的极限：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', positive=True)
l = sp.limit(1/x, x, sp.S.Infinity) # lim x->oo 1/x, S类中包含了正负无穷和其他特殊值
l.doit() # 求解

结果等于0。

默认情况下，我们从正方向计算极限（负无穷则默认为负），我们可以自己定义求解的方向，例如我们要求解 $1/x$ 中从负方向趋向于0时的极限。

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', positive=True)
l = sp.limit(1/x, x, 0, dir='-')  # lim x->-0 1/x
l.doit()  # 求解

解得结果为 $-\infty$ 。

此外，sympy还可以自动处理不定型的函数的极限，例如求解 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 时的极限：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x', positive=True)
l = sp.limit(sp.sin(x)/x, x, 0)  
l.doit()  # 求解

运行结果为1。

我们可以使用Derivative类进行求导。例如：

import sympy as sp

t = sp.symbols('t')
St = 5*t**2 + 2*t + 8
sp.Derivative(St, t).doit()

运行结果为： $10t+2$ 。

当然还可以用这个函数来求偏导：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
y = sp.symbols('y')
exp = 2*x*y + x*y**2
sp.Derivative(exp, x).doit()

运行结果为： $y^{2} + 2 y$ 。

我们还可以使用diff函数：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
y = sp.symbols('y')
exp = 2*x*y + x*y**2
sp.diff(exp, x)

例如求解 $2 x y^{2} = \frac{d y}{d x}$ ：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
y = sp.Function('y')  # y是x的函数
exp = 2 * x * y(x)**2 - y(x).diff(x)
sp.dsolve(exp, y(x))

使用dsolve来求解有关微分方程的问题，上述代码运行结果为： $y{\left(x \right)} = - \frac{1}{C_{1} + x^{2}}$ 。

我们可以使用Integral来求解不定积分：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
k = sp.symbols('k')
sp.Integral(k*x, x).doit()

运行结果为： $\frac{k x^{2}}{2}$ 。

也可以求定积分：

import sympy as sp

x = sp.symbols('x')
k = sp.symbols('k')
sp.Integral(k*x, (x, 0, 2)).doit()

运行结果为： $2k$ 。