教材来自于《数字信号处理教程（第四版）》 清华大学出版社
第一章 离散时间信号与系统
第二章 z变换和离散时间傅里叶变换(DTFT)
第三章 离散傅里叶变换
第四章 快速傅里叶变换（FFT）
第五章 数字滤波器的基本结构
第六章 无限长单位冲激响应(IIR)数字滤波器的设计方法
第七章 有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法
第八章 序列的抽取与插值——多抽样率数字信号处理基础
第一章 离散时间信号与系统
1.1 序列
什么是序列？
一般用x(n)表示离散时间信号，简称序列。x(n)注意以下要点：
-
n必须是整数
-
模拟信号可以非等间隔时间抽样，以后不做讨论
-
序列可以有三种表示方法
-
序列的三种表示方法
- 函数表示：x(n)=a^nu(n)
- 数列表示：x(n)=\{1,\underline{2},3,4,5\}，其中带下划线的数字是n=0时候的值
- 图形表示：
序列的运算
-
加法
z(n)=x(n)+y(n)
-
乘法
z(n)=x(n)y(n)
y(n)=cx(n)
-
累加
y(n)=\sum\limits_{k=-\infty}^{n}{x(k)}
-
绝对和
S=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty|x(n)|
-
能量
E[x(n)]=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty|x(n)|^2
-
平均功率
P[x(n)]=\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{2N+1}\sum\limits_{n=-\infty}^\infty|x(n)|^2
-
移位
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翻褶
-
尺度变换
-
差分运算
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卷积和
-
其他
卷积和
-
运算方法：
y(n)=x(n)*h(n)=\sum\limits_{m=-\infty}^nx(m)h(n-m)
-
不进位乘法：
\begin{array}{c c c c c}{x(n)}&{}&{}&{4}&{2}&{3}&{1}\\ {h(n)}&{}&{}&{}&{2}&{4}&{1}\\ \hline&{}&{}&{4}&2&{3}&1\\ &{}&{16}&{8}&{12}&{4}&{}\\ &{8}&{4}&{6}&{2}&{}&{}\\ \hline{y(n)}&{8}&{20}&{18}&{16}&{7}&{1}\\ \end{array}
- 周期卷积和的不进位乘法：以\hat x(n)=\{\underline4,3,2,1,...\}\hat h(n)=\{\underline1,1,1,1,...\}h(n)=\{\underline1,1,1,1\}举例：
\begin{array}{c c c c c}{x(n)}&{}&{}&{}&{4}&{3}&{2}&{1}\\ {h(n)}&{}&{}&{}&{1}&{1}&{1}&{1}\\ \hline&{}&{}&{}&{4}&3&{2}&1\\ &{}&{}&{4}&{3}&{2}&{1}&{}\\ &{}&{4}&{3}&{2}&{1}&{}&{}\\&{4}&{3}&{2}&{1}&{}&{}\\ \hline&{4}&{7}&{9}&{10}&\underline{6}&\underline{3}&\underline{1}\\&\underline{6}&\underline{3}&\underline{1}\\ \hline{y(n)}&10&10&10&10\end{array}
- 序列长度：N+M-1
几种常见序列
-
冲激序列
\delta(n)=\begin{cases} 1,&n=0\\ 0,&n\neq0 \end{cases}
-
阶跃序列
u(n)=\begin{cases} 1,&n \geq 0\\ 0,&n<0 \end{cases}
-
矩形序列
R_N(n)=\begin{cases} 1，&0\leq n \leq N-1\\ 0, &其他 \end{cases}
-
实指数序列
-
复指数序列
-
正弦性序列
序列的周期性
定义：对于所有n，存在最小正整数N，满足x(n)=x(n+N),则称x(n)为周期序列，周期为N。
正弦序列周期性：
对于序列：
x(n)=A\sin(n\omega_0+\phi)
x(n)=e^{j\omega_0n}
-
\frac{2\pi}{\omega_0}是整数，周期为
N=\frac{2\pi}{\omega_0}
-
\frac{2\pi}{\omega_0}是有理数，周期为
N=\frac{2\pi}{\omega_0}k,N为正整数
-
\frac{2\pi}{\omega_0}是无理数，为非周期序列。
频率
| 名称 | 单位 | 符号 | 意义 |
|---|---|---|---|
| 模拟频率 | Hz (1/s) | f | 单位时间内信号的周期个数 |
| 模拟角频率 | rad/s | Ω | 单位时间内信号弧度的大小 |
| 数字频率 | rad | \omega | 相邻采样点间隔的弧度大小 |
| 采样频率 | Hz | f_s | 单位时间内采样点的个数 |
1.2 线性时不变系统
线性系统
-
满足叠加原理的系统成为线性系统。
T[ax_1(n)+bx_2(n)]=aT[x_1(n)]+bT[x_2(n)]=ay_1(n)+by_2(n)
-
满足可加性和齐次性。
时不变系统
-
序列移动任意位，输出序列只能跟着移位，数值保持不变。
T[x(n-m)]=y(n-m)
因果系统
-
n时刻的输出只与n和n时刻以前的输入有关。
y(n)=T[x(n)]=0,n<n_0,x(n)=0
稳定系统
- 有界输入产生有界输出
\sum\limits_{n=-\infty}^\infty|h(n)|<\infty
1.3 常系数线性差分方程
-
连续时间系统的输入、输出关系常用常系数线性微分方程表示。
\sum\limits_{k=0}^Na_ky(n-k)=\sum\limits_{m=0}^Mb_mx(n-m)
-
如何求解差分方程不做要求。
1.4 连续时间信号的抽样
理想抽样的时域分析：
\begin{aligned} \hat{x}_a(t)&= x_a(t)\cdot\delta_T(t)\\&=x_a(t)\cdot\sum\limits_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)\\&=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty x_a(nT)\cdot\delta(t-nT) \end{aligned}
采样定理
- 频带有限信号，最高频率为\Omega_h。
- 当\Omega_s\geq2\Omega_h，则可以由\hat{x}_a(t)不失真恢复出x_a(t)。
内插恢复
-
内插函数：
h(t-nT)=\frac{\sin\frac{\pi}{T}(t-nT)}{\frac{\pi}{T}(t-nT)}
-
内插恢复：
\begin{aligned} x_a(t)&=\hat{x}_a(t)*h(t)\\ &=\sum\limits_{n=-\infty}^\infty{x_a(nT)Sa[\frac{\Omega}{2}(t-nT)]} \end{aligned}
习题
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数字信号频率\omega的单位是（ ），最高频率是（ ），有效范围是（ ）。
rad \pi 0≤\omega≤2\pi或-\pi≤\omega≤\pi
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y(n)=3x(n)+6是否为线性系统?
非线性
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y(n)=nx(n)是否为时不变系统？
时变
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求e^{j(\frac{\pi}{6}-\pi)}的周期。
T=2\pi为无理数，无周期
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设x_1(n)及x_2(n)都是从n=0开始的有限长序列，x_1(n)长度为N_1点，x_2(n)长度为N_2点设N_2>N_1,求：
(1)x_1(n)+x_2(n)的长度点数;
(2)x_1(n)*x_2(n)的长度点数;
(3)x_1(n)\cdot x_2(n)的长度点数;（1）N_2
（2）N=N_1+N_2-1
（3）N_1
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答案
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答案
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答案
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答案
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判断y(n)=x(n)\sin ({\frac {2\pi}{9}n+\frac \pi 7})是否是线性、时不变、因果、稳定系统？
线性、时变、非因果、稳定（临界稳定）
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对信号x(t)=\sin(\frac{2\pi}7t)进行抽样得到序列x(n)，抽样间隔为3秒，则x(n)的数字频率为（ ），周期为（ ）。
x(n)=\sin(\frac {6\pi}7n)，故数字频率为\frac{6\pi}{7}，周期为7（\frac{2\pi}{\frac{6\pi}{7}}=\frac 73）
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判断系统T[x(n)]=x(n-2)+x(2n)的性质，该系统是否为线性、移不变、因果、稳定？
线性、移变、非因果、稳定
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